浅谈模糊数学

   在日常生活中，我们遇到的概念不外乎两类。一类是清晰的概念，对象是否属于这个概念是明确的。例如；人、自然数、正方形等等。要么是人，要么不是人、要么是自然数、要么不是自然数、要么是正方形，要么不是正方形。另一类概念对象从属的界限是模糊的，随判断人的思维而定。例如：美不美？早不早？“便宜不便宜？等等。西施是我国古代公认的美女，有道是“情人眼里出西施”，这就是说，在一些人看来未必那么美的人，在另一些人眼里，却美得可以与西施相比拟。可见，“美”与“不美”是不存在一个精确的界限的。再说“早”与“不早”，清晨五点，对于为都市“梳妆打扮”的清洁工人来说可能算是迟了，但对大多数小学生说，却是很早很早的。至于便宜不便宜，那更是随人的感觉而异了！在客观世界中，诸如上述的模糊概念要比清晰概念多得多。对于这类模糊现象，过去已有的数学模型难以适用，需要形成新的理论和方法，即在数学和模糊现象之间架起一座桥梁。它，就是我们要讲的“模糊数学”。

加速这座桥梁架设的是计算机科学的迅速发展。大家知道，人的大脑具有非凡的判别和处理模糊事物的能力。就拿一个孩子识别自己的母亲为例，即使这位母亲更换了新衣，改变了发式，她的孩子依然会从高矮、胖瘦、音容、姿态等迅速地作出准确判断。如果这件事让计算机来干，那就非得把这位母亲的身高、体重、行走速度、外形曲线等等，全都计算到小数点后的十几位，然后才能着手判断。这样的“精确”实在是事与愿违，走到了事物的反面。说不定就因为这位母亲脸上一时长了一个小疖，该部位的平均高度，比原来高了零点零几毫米，而使计算机作出“拒绝接受”的判断呢？难怪模糊数学的创始人，美国加利福尼亚大学教授、自控专家扎德（L.A.Za-deh）说：“所面对的系统越复杂，人们对它进行有意义的精确化能力就越低。”他生动地举了一个停车问题的例子，他说：要把汽车停在拥挤停车场的已有两辆汽车之间的空地上，这对有经验的司机来说，并非什么难事。但若用精确的方法求解，即一台大型电子计算机也不够用。

那么，要使计算机能够模仿人脑，对复杂系统进行识别和判断，出路在哪里呢？扎德教授主张从精度方面“后退”一步。他提出用隶属函数使模糊概念数学化。例如“秃头”，这显然是一种模糊概念。右图有五种头发的类型。（a）的头葫芦精光，自属标准“秃头”，隶属程度为 1；（d）的头是典型的秃顶，所以“秃”的隶属程度可定为 0.8；（c）的头上，长满了乌黑的头发，根本与“秃”沾不上边，所以“秃”的隶属程度为 0；（b）与（c）的“秃”，比之（a）、（d）则不足，比之（c）则有余，隶属程度可分别定为 0.5 和 0.3。这样“秃”这个模糊概念就可以用以下的方法定量地给出定义：[秃头]＝1/a＋0.5/b＋0/c＋0.8/d＋0.3/e这里的“＋”和“/”，不是通常的相加和相除。这只是一种记号。“ 1/a”表明状态 a 的隶属程度为“1”等等，“＋”则表示各种情况的并列。

下面我们再看“年轻”和“年老”这两个模糊概念。扎德教授本人根据统计资料，拟合了这两个概念的隶属函数图象。图中横坐标表示年龄，纵坐标表示隶属程度，例如，从坐标图可以看出，50 岁以下的人不属于“年老”，而当年龄超过 50 岁时，随着岁数的增大，“年老”的隶属程度也越来越大，“人生七十古来稀”，70 岁的人“年老”的隶属程度已达 94％，同样，在坐标图中我们可以看到，25 岁以下的人，“年轻”的隶属程度为 100％，超过25 岁，“年轻”的程度越来越小。40 岁已是“人到中年”，“年轻”的隶属程度只有 10％。

    假如有人问你：“你的数学老师年轻吗？”而你的回答却是：“他的年轻隶属程度为 25％”。这样的答案自然不会有错，但显然是很别扭的。为了使人产生一种确切的印象，我们可以固定一个百分数，例如 40％，隶属程度大于或等于 40％的都叫“年轻”，反之就不叫“年轻”。在这种前提下，你对你朋友的回答也就是肯定的了，你可以明白地告诉你的朋友，你的数学老师不年轻。因为这时“年轻”一词，已从模糊概念转为明确的概念。当然，作为隶属程度分界线的那个固定百分数，是应当通过科学的分析，或者通过民意测验的统计来选取的。

再举中国古代史的分期为例，“奴隶社会”是个模糊概念。[奴隶社会]＝1/夏+1/商＋ 0.9/西周+ 0.7/春秋+ 0.5/，战国+0.4/秦+0. 3/西汉+0.1/东汉。取 0.5 的隶属程度作为奴隶社会的划分界限，那么属于奴隶社会的，就该是夏、商、西周、春秋和战国。秦、汉则不属于奴隶社会。在精确数学中，“非常”、“很”、“不”等词是很难用数量加以表述的。但在模糊数学中，却可以让它们赋于定量化。例如，“很”表示隶属程度的平方，“不”则表示用 1 减去原隶属度等等。如 30 岁属于“年轻”的隶属程度为 0.5，那么属“很年轻”的隶属程度就只有（0.5）＝0.25，而“不很年轻”的隶属程度则为 1-（0.5）＝0.75。可见在对事物的模糊性进行定量刻划的时候，我们同样需要用到概率统计的手段和精密数学的方法。由此可见，“模糊数学”实际上并不模糊。模糊数学的诞生，把数学的应用领域从清晰现象扩展到模糊现象，从而使数学闯进了许多过去难于达到的“禁区”。用模糊数学的模型来编制程序，让计算机模拟人脑的思维活动，已经在文字的识别，疾病的诊断，气象的预测，火箭的发射等方面获得成功，前景十分诱人。我国研究模糊数学虽然只有短短十几个年头，但十几年来，这门新兴的学科发展极快，表现出了强大的生命力。目前，该学科在工业、农业和国防技术的应用方面，已经吐露锋芒！